Версия для печати темы
Нажмите сюда для просмотра этой темы в обычном формате
Образовательный студенческий форум _ Интегралы _ вычислить двойной интеграл перейдя к полярным координатам
Автор: zmei 5.12.2010, 10:24
Помогите вычислить двойной интеграл х*у^2dxdy, если область Д ограничена окружностями x^2 + (y-1)^2=1 и x^2+y^2=4y. Начало выкладываю - если дальше решать - слишком большие цифры получаются
Эскизы прикрепленных изображений
Автор: граф Монте-Кристо 5.12.2010, 11:46
В конце 2 раза dф написали, а так вроде правильно.
Выкладывайте всё решение, будем смотреть.
Автор: Тролль 5.12.2010, 11:51
Пока все правильно, надо дальше решать. Получаются простые интегралы.
Автор: zmei 5.12.2010, 13:24
Решая внутренний интеграл получаем внешний 992/5*int от -Пи/2 до Пи/2 cosФи*sin^7ФиdФи
Как разложить в этом случае sin^7Фи?
Автор: Тролль 5.12.2010, 14:12
Его не надо никак раскладывать.
Автор: zmei 5.12.2010, 14:42
Его не надо никак раскладывать.
то есть внутренний интеграл я правильно решил?
Автор: Тролль 5.12.2010, 20:43
Только пределы от 0 до pi. Осталось взять последний интеграл.
Автор: zmei 6.12.2010, 3:55
Только пределы от 0 до pi. Осталось взять последний интеграл.
cosФи и sin^7Фи надо преобразовать в одну тригонометрическую функцию. Иначе как её решить? В какую?
Автор: tig81 6.12.2010, 10:59
cosФи и sin^7Фи надо преобразовать в одну тригонометрическую функцию. Иначе как её решить? В какую?
Т.е. под интегралом у вас стоит произведение косинуса на синус в 7? Тогда делайте замену sinФи=у
Автор: zmei 6.12.2010, 13:02
Т.е. под интегралом у вас стоит произведение косинуса на синус в 7? Тогда делайте замену sinФи=у
а как с косинусом быть? преобразовать в кв. корень из 1-y^2?
Автор: Тролль 6.12.2010, 17:22
Нет. cos fi dfi = d (sin fi) = dy
Автор: zmei 6.12.2010, 17:45
все гениальное просто
Автор: zmei 6.12.2010, 17:58
а пределы интегрирования 0 и Пи преобразовывать не надо? но если потом преобразовать обратно у в синусФи, то синус 0 = 0, синус Пи = 0. Опять что-то не выходит
Автор: tig81 6.12.2010, 18:01
а пределы интегрирования 0 и Пи преобразовывать не надо? но если потом преобразовать обратно у в синусФи, то синус 0 = 0, синус Пи = 0. Опять что-то не выходит
Если вносите под дифференциал, то не надо.
Автор: zmei 6.12.2010, 18:10
Если вносите под дифференциал, то не надо.
ну ладно не буду, но вычислив интеграл, надо обратно преобразовывать у в синус Фи или оставить у и подставить в у^8/8 значения 0 и Пи.
Тогда ответ получится 124*Пи^8?
Автор: tig81 6.12.2010, 18:30
ну ладно не буду, но вычислив интеграл, надо обратно преобразовывать у в синус Фи или оставить у и подставить в у^8/8 значения 0 и Пи.
Тогда ответ получится 124*Пи^8?
Давайте лучше решение полностью, а то я что-то не поняла, у вас замена или вы вносите под дифференциал.
Автор: zmei 6.12.2010, 18:52
Давайте лучше решение полностью, а то я что-то не поняла, у вас замена или вы вносите под дифференциал.
это продолжение решения - начало чуть выше.
Эскизы прикрепленных изображений
Автор: zmei 8.12.2010, 13:30
Тогда ответ получится 124*Пи^8?
Автор: tig81 8.12.2010, 14:08
Раз делали замену, то надо пересчитывать пределы интегрирования. Или вы потом обратно к переменной фи возвращались?
Автор: zmei 9.12.2010, 4:15
Раз делали замену, то надо пересчитывать пределы интегрирования. Или вы потом обратно к переменной фи возвращались?
если вернусь к переменной Фи - ответ будет 0, а как пересчитать пределы интегрирования - ума не приложу
Автор: граф Монте-Кристо 9.12.2010, 13:28
А это и так можно было сказать, не считая интеграла. Область Ваша симметрична относительно оси Оу, а подынтегральная функция - нечётная по иксу. Поэтому в сумме как раз и получится 0.
Русская версия Invision Power Board (http://www.invisionboard.com)
© Invision Power Services (http://www.invisionpower.com)