Версия для печати темы
Нажмите сюда для просмотра этой темы в обычном формате
Образовательный студенческий форум _ Разное _ Любая конечная подгруппа циклична
Автор: хайдер 13.10.2010, 6:34
Нужно доказать, что любая конечная подгруппа в С(множество комплексных чисел) циклична. Но как это сделать пока не могу сообразить) помогите
Автор: Harch 13.10.2010, 8:46
во-первых, C по умножению или сложению?
Во-вторых, C не является цикличной ни по тому, ни по другому.
Автор: хайдер 13.10.2010, 13:19
ну цикличным поле называется если все элементы можно выразить через один в разных степенях! Если честно не понял вопроса(по умножению или по сложению).
во-вторых, если бы С не было цикличным, то и подгруппы не были бы... следовательно условие было сформулировано некорректно! что вряд ли)
Автор: Harch 13.10.2010, 19:18
Вы вначале не сказали, что у вас С - поле или группа. Соответственно я решил что группа и спросил, по какому действию.
Первый раз слышу чтобы поле было цикличным. Может конечно я этого еще не проходил, но гугл мне кстати не помог. Ничего там про это нет.
А у нецикличных групп могут быть цикличные подгруппы.
И даже если сделать допущения на цикличное поле, то С не будет цикличным. По какой причине? Очень просто. Группа С+ не циклична, и группа С* не циклична, так что по какому бы мы действию не брали степень, цикличности не будет, потому что при взятии степени мы действуем только одним действием и можем рассматривать поле как группу.
Автор: хайдер 14.10.2010, 9:57
Возможно...Ну как тогда доказать, что любая конечная подгруппа из С является цикличной?
Автор: Harch 14.10.2010, 10:49
Вы согласны с тем, что С - не циклично?
И кстати, Вы не уточнили по какому действию мы берем С.
Автор: хайдер 14.10.2010, 11:17
Смотрите какое определение цикличной группы давали мне:
1, а, а^2,..., a^(q-1) - цикличная группа, где а - примитивный элемент
Автор: Harch 14.10.2010, 11:25
неверное определение! во-первых вы наверно имели ввиду а - нейтральный элемент, я не слышал ничего о примитивных элементах, а во вторых не а, а а^q нейтрален. Тогда верно.
Ну скажите наконец-то, С по сложению или умножению??
Автор: хайдер 14.10.2010, 13:45
а - именно примитивный! если можно и по сложению и по умножению...
Автор: Harch 14.10.2010, 13:51
Дайте определение примитивного элемента. В википедии есть только примитивный элемент КОНЕЧНОГО поля.
Автор: хайдер 14.10.2010, 14:03
надо про конечную подгруппу доказать... для нее определено понятие примитивного элемента, если она является циклической! определение именно то, что вы увидели в Википедии...
"В теории групп группа G называется циклической, если она может быть порождена одним элементом a, то есть все её элементы являются степенями a" - взято из:
http://ru.wikipedia.org/wiki/Циклическая_группа
Автор: Harch 14.10.2010, 14:04
Да! но в википедии нет определения ПРИМИТИВНОГО!! элемента для группы.
Автор: хайдер 14.10.2010, 14:11
Оно такое же как и для конечного поля! Короче зачем вам определение примитивного элемента. я же написал определение циклической группы:
"В теории групп группа G называется циклической, если она может быть порождена одним элементом a, то есть все её элементы являются степенями a"
Если можете доказать, что любая конечная подгруппа(является также конечной группой!) поля С удовлетворяет этому условию, то прошу помощи...
Автор: Harch 14.10.2010, 14:34
Я знаю что такое циклическая группа. Это первое. Второе. Мне стало интересно что есть примитивный элемент. Вы это знаете. Объясните. И то что любая подгруппа является группой это определение.
Итак, сначала докажем для C*. Как перемножаются комплексные числа? (геометрическая интерпретация).
P.S. за вас доказывать все я не буду, буду вопросами и некоторыми пояснениями подталкивать к ответу.
Автор: хайдер 14.10.2010, 14:40
е мое че за детский сад) (a+bi)*(c+di) = (ac-bd)+(ad+bc)i
Автор: Harch 14.10.2010, 15:03
стоп, Вы не поняли! Геометрическая интерпретация, каждое комплексное число есть вектор, так? так вот какой получается результирующий вектор?
Автор: хайдер 14.10.2010, 15:41
Не знаю! в общем если вам не трудно напишите доказательство пожалуйста...
Автор: Harch 14.10.2010, 15:55
Ладно. Они перемножаются так: угол складывается, а длины умножаются. Значит, если у нас длина вектора не 1, то умножая его на себя, мы получим бесконечное число элементов. => в нашей подгруппе все вектора должны иметь длину 1. Понятно?
Автор: хайдер 14.10.2010, 16:21
если у нас длина вектора не 1, то группа не является конечной - это я понял... но как отсюда вытекает цикличность не очень понятно если честно!
Автор: Harch 14.10.2010, 16:24
а теперь пусть у нас длина вектора 1. Значит эти вектора при перемножении "крутятся" по окружности, так?
Автор: хайдер 14.10.2010, 16:27
ну покрутятся и остановятся. так
Автор: Harch 14.10.2010, 19:17
да, то есть получается, что любая конечная подгруппа есть прямая сумма циклических подгрупп, так? Понятно?
Автор: dr.Watson 24.10.2010, 16:17
Есть общая теорема. Если в поле взять конечное число элементов, которое по умножению составляют группу, то эта группа циклична.
Кратко говорят так: всякая конечная группа поля циклична.
В данном случае это простое упражнение.
1) В выбранной группе модуль любого элемента равен 1, иначе эта группа очевидно бесконечна.
2) В силу конечности можно выбрать число с наименьшим положительным аргументом, запишем его в виде 2k\pi. Если k иррационально, то выбранное число является элементом бесконечного порядка (и попутно заметим, хотя и не используем, что минимального-то и нет). В рациональном случае же k=p/q выбранное число и будет примитивным элементом, то есть образующим циклической группы, а сама группа окажется группой всех корней степени q из единицы, иначе говоря в наименьшем аргументе будет p=1.
PS. Прошу прощения, прочитал только начало, которое не сулило продолжения, а оказывается и без меня дело шло к развязке. Жалко стирать - оставляю.
Автор: Harch 24.10.2010, 17:50
Dr. Watson, человек забыл уже про этот пост и сюда не смотрит 
так что зря писали
хотя нет, не зря, сам почитал и получил удовольствие
спасибо
Русская версия Invision Power Board (http://www.invisionboard.com)
© Invision Power Services (http://www.invisionpower.com)