Версия для печати темы

Автор: Vlattt 4.6.2010, 7:16

Как доказать, что нет рационального числа, квадрат которого равен 3?
Нельзя же просто сказать, что √3 - это иррациональное число, поэтому такого числа нет? Нужно доказать...Вот только как?

Автор: Dimka 4.6.2010, 8:15

1^2=1
2^2=4
нет рационального (целого положительного) числа, квадрат которого равен 3

Автор: venja 4.6.2010, 16:01

Смотрели, как доказывается это для √2 ?
От противного. Пусть √3 - рациональное.
Тогда есть целые положительные n и m, что √3=n/m.
Считаем, что n и m взаимно просты, т.е. уже не имеют общих множителей (иначе их сократим на общие множители в выражении √3=n/m и останутся именно такие).
Возведя в квадрат, получим

(*) n^2=3m^2

Поэтому n^2 делится на 3. Отсюда следует, что и n тоже должно делиться на 3 (докажите, что если n не делится на 3, то и n^2 не делится на 3 - вспомните о единственности разложимости числа на простые множители). Тогда n=3k. Подставляя в (*), получим

m^2=3k^2

Отсюда следует, что и m делится на 3. Таким образом, n и m делятся на 3, что противоречит
их взаимной простоте.

Автор: Vlattt 4.6.2010, 17:11

Спасибо
А с кубом аналогично доказывать?

Автор: venja 4.6.2010, 17:31

Попробуйте.