Версия для печати темы

Автор: Alioth 23.5.2010, 15:19

Здравствуйте, буду премного благодарен за помощь в решении некоторых задач по ДУ, а именно:
Решить уравнения
1) y' = sin (x+y+3)
2) y' sin x - y cos x = -sin^2 x / x^2
3) xy' + 1 = e^y
4) (y')^3 - 4yy' = 0

5)Составить диф. ур-е сем-ва окружностей радиуса 1, центры которых лежат на прямой y = -2x
6) (y-c)^2 = (x-c)^3 по виду общего интеграла найти подозрительные на особые решения и проверить являются ли они особыми решениями.

Большое спасибо за потраченное время.

Автор: tig81 23.5.2010, 15:20

Одни единственные http://www.prepody.ru/ipb.html?act=boardrules#
Что не получается?

Автор: Alioth 23.5.2010, 15:49

Решаю 3) xy' + 1 = e^y
x*dy/dx=e^y-1
dy/(e^y-1)=dx/x
ln|-1+e^y|-y=ln|x|+lnC
На данном месте впадаю в ступор ^^

Автор: Alioth 23.5.2010, 16:09

Решаю 4) (y')^3 - 4yy' = 0
4yy'=(y')^3
4y=(y')^2
2y^(1/2)=y'
dy/y^(1/2)=2
2y^(1/2)=2x
y=x^2
Правильно ли я решил?

Автор: граф Монте-Кристо 23.5.2010, 16:43

3)Что не получается?
4)Во-первых, случай y'=0 нужно рассмотреть отдельно, во-вторых, при извлечении корня нужно помнить про +/-. В-третьих, при интегрировании забыли про константу.

Автор: Alioth 23.5.2010, 17:30

3) y выразить не получается, хотя наверное я уже туплю =/
4) (y')^3 - 4yy' = 0
а) y'=0, y=c
б)4yy'=(y')^3
4y=(y')^2
+-2y^(1/2)=y'
dy/y^(1/2)=+-2
2y^(1/2)=+-2x+2С
y=(+-x+С)^2

Так верно?

Решаю 1) y' = sin (x+y+3)
z(x) = x+y+3
z'=1+y'
y'=z'-1
z'-1=sin z
z'=sin z +1
dz/(sin z +1) = dx
-2/(tg(z/2)+1)=x+C
-2/(x+C)-1=tg((x+y+3)/2)
(x+y+3)/2=arctg(-2/(x+C)-1)
y=2arctg(-2/(x+C)-1)-3-x

Так же интересует, правильно ли я решил?

Автор: граф Монте-Кристо 23.5.2010, 17:43

3)y=-ln(1-Cx)
4)Верно.
1)Похоже на правду.

Автор: Alioth 23.5.2010, 17:46

Спасиб, займусь решением остальных...

Автор: Alioth 23.5.2010, 18:31

Подскажите пожалуйста с чего начать решение задачи 2), чет идей вообще нету =/

Автор: Alioth 23.5.2010, 18:46

в 6) у меня получилось Ф = (y-c)^2 - (x-c)^3
(y-c)^2 - (x-c)^3 = 0
-3(x-c)^2=0
c=x
(y-x)^2-(x-x)^3=0
(y-x)^2=0
y=x - дискр кривая
dФ/dx=-3(x-c)^2=0
dФ/dy=2(y-c)=2(y-x)
(dФ/dx)^2+(dФ/dy)^2=4(y-x)^2
y=x - огибающая
y=x - особое решение.

Автор: tig81 23.5.2010, 19:04

http://www.reshebnik.ru/solutions/5/5

Автор: Alioth 23.5.2010, 19:26

Спасибо.

Сделал 5)Составить диф. ур-е сем-ва окружностей радиуса 1, центры которых лежат на прямой y = -2x

(x-a)^2+(y-b )^2=r^2
r=1
(x-a)^2+(y-b )^2=1
b=-2a, т.к. центр лежит на прямой y = -2x.
(x-a)^2+(y+2a)^2=1
2(x-a)+2(y+2a)y'=0
1+y'+(y+2a)y''=0
a=-(1+y'+yy'')/2y''.
Ответ: (x+(1+y'+yy'')/2y'')^2+(y-(1+y'+yy'')/2y'')^2=1.

Осталось 2) домучать...