Версия для печати темы

Нажмите сюда для просмотра этой темы в обычном формате

Образовательный студенческий форум _ Дифференцирование (производные) _ Исследовать функцию на экстремумы

Автор: Paha-rzn 23.5.2010, 9:51

f(x,y)=xy-x^2-y^2+2x-y+3

(Z)'_x = y-2x+2
(Z)'_y = x-2y-1

Приравнивая оба уравнения к нулю и решая систему уравнений нашел x=-5/3 , y=-4/3.
т.е. М(-5/3,-4/3) - стационарная точка.
Далее беру производную
(Z)''_xx=-2
(Z)''_yy=-2

Что делать дальше? Как найти экстремумы?

Автор: tig81 23.5.2010, 9:57

Цитата(Paha-rzn @ 23.5.2010, 12:51) *

Приравнивая оба уравнения к нулю и решая систему уравнений нашел x=-5/3 , y=-4/3.

А распишите, как такое получили.
Цитата
Далее беру производную
(Z)''_xx=-2
(Z)''_yy=-2

Еще нужна смешанная.
Посмотрите http://www.prepody.ru/ipb.html?act=Search&CODE=show&searchid=f308d46d8bb4e48f1dcb26428a191ba0&search_in=posts&result_type=topics&highlite=%FD%EA%F1%F2%F0%E5%EC%F3%EC+%F4%F3%ED%EA%F6%E8%E8+%ED%E5%F1%EA%EE%EB%FC%EA%E8%F5+%EF%E5%F0%E5%EC%E5%ED%ED%FB%F5

Автор: Paha-rzn 23.5.2010, 10:51

Эх... вот что значит моя невнимательность... при переносе в правую часть каким-то образом упустил минус и все решение псу под хвост...
Значит точка будет с такими координатами : М(1,0).

Автор: tig81 23.5.2010, 10:52

Цитата(Paha-rzn @ 23.5.2010, 13:51) *

Эх... вот что значит моя невнимательность... при переносе в правую часть каким-то образом упустил минус и все решение псу под хвост...

smile.gif
Цитата
Значит точка будет с такими координатами : М(1,0).

yes.gif

Автор: Paha-rzn 23.5.2010, 11:03

Z''_xx=-2
Z''_xy=0
Z''_yy=-2
тогда:
А=-2, В=0, С=-2 и...
АС-В^2=4>0 следовательно...???

Автор: tig81 23.5.2010, 11:06

Цитата(Paha-rzn @ 23.5.2010, 14:03) *

Z''_xy=0

Почему 0? Вы должны первую производную по х продифференцировать по у.
Цитата
АС-В^2=4>0 следовательно...???

В точке М экстремум достигается. Только правильно А, В и С найдите. А точнее только В. smile.gif

Автор: Paha-rzn 23.5.2010, 11:09

ААА... значит Z''_xy=1, след. В=1 и АС-В^2=3. А как определить саму точку экстремума?

Автор: tig81 23.5.2010, 11:16

Цитата(Paha-rzn @ 23.5.2010, 14:09) *

ААА... значит Z''_xy=1, след. В=1 и АС-В^2=3.

yes.gif
Цитата
А как определить саму точку экстремума?

Точку подозрительную на экстремум вы уже определили - это т. М. Т.к. AC-B^2>0 в этой точке, то функция в т.М достигает экстремум, теперь осталось выяснить минимум или максимум. Для этого смотрим на знак А.

Автор: Paha-rzn 23.5.2010, 11:20

Точка А имеет знак минус, т.е. это точка максимума!? И единственное, что меня еще смущает, это когда я нашел Z''_xx , Z''_xy , Z''_yy , у меня получились конкретно числа без неизвестных, и значения точки М я не подставлял. Так и должно быть?

Автор: tig81 23.5.2010, 11:30

Цитата(Paha-rzn @ 23.5.2010, 14:20) *

Точка А имеет знак минус, т.е. это точка максимума!?

да.
Цитата
И единственное, что меня еще смущает, это когда я нашел Z''_xx , Z''_xy , Z''_yy , у меня получились конкретно числа без неизвестных, и значения точки М я не подставлял. Так и должно быть?

Ну для данной функции так получилось. smile.gif

Автор: Paha-rzn 23.5.2010, 11:33

А если бы АС-В^2 была бы меньше или равна нулю, то функция не достигала бы экстремума?
Т.е. мне можно сделать в примере вывод, типа т. М(1,0) - точка экстремума, и т.к. А<0, то она точка максимума!?

Автор: tig81 23.5.2010, 11:48

Цитата(Paha-rzn @ 23.5.2010, 14:33) *

А если бы АС-В^2 была бы меньше или равна нулю, то функция не достигала бы экстремума?

< 0- не достигала
=0 - сомнительный случай, требующий дополнительного исследования
Цитата
Т.е. мне можно сделать в примере вывод, типа т. М(1,0) - точка экстремума, и т.к. А<0, то она точка максимума!?

можно, но все без "типа".

Русская версия Invision Power Board (http://www.invisionboard.com)
© Invision Power Services (http://www.invisionpower.com)