Версия для печати темы

Автор: Drampir 26.12.2007, 9:13

Можно поподробней как находятся эти самые собственные векторы и собственные числа матрицы. Смотрел пример здесь http://reshebnik.ru/solutions/10/9/, но не понял что такое характеристическое уравнение и как оно составляется. Буду очень очень признателен за любую помощь

Автор: Black Ghost 26.12.2007, 10:03

Характеристическое уравнение - это уравнение det(A-kI)=0
т.е. из матрицы A вычитается единичная матрица I, умноженная на k, т.е.
k 0 0... 0
0 k 0... 0
....
0 0 0... k

от полученной матрицы находится определитель и приравнивается к 0

Автор: Drampir 26.12.2007, 12:40

Все равно не могу найти собственные числа и векторы.
Матрица:
5 -2 2
0 5 0
0 2 3
Характеристическое уравнение:
(5-лямда)((5-лямда)(3-лямда)) = 0
(5 - лямда)(15 - 3 лямда - 5лямда + лямда^2) = 0
Получается система уравнений:
5 - лямда = 0
-лямда^2 - 8 лямда + 15
Корень первого уравнения 5
Корни второго : - 9.5 и 1.5
Потом ищу собственный вектор матрицы. Подставляю первый лямда в уравнение
(5 - 5) * X1 + (-2) * X2 + 2* X3
0*X1 + (5 - 5) * X2 + 0 * X3
0 * X1 + 2 * X2 + (3 - 5) * X3
начинаю его преобразовывать, чтобы найти корни уравнения, получается:
- 2 * X2 + 2 * X3 = 0
0 = 0
2 * X2 - 2 * X3 = 0
Вот такая билеберда, что это значит, в правильном ли я направлении двигаюсь и где ошибка Помогите пожалуйста, с утра бьюсь над ним (

Автор: Black Ghost 26.12.2007, 13:09

корни л1,2=5, л3=3 вообще-то

Автор: Drampir 26.12.2007, 13:21

Не понял, в смысле лямда1 =2, лямда2 = 5, лямда3 = 3, подскажи где ошибка пожалуйста

Автор: tig81 26.12.2007, 15:44

А зачем вы дальше раскрываете скобки? Произведение равно нулю, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю, т.е.
5-лямда=0 5-лямда=0 3-лямда=0
тогда находим собственные числа. Но они не такие, как вы их нашли.

в какое уравнение вы их подставляете? имеется виду в систему для нахождения собственных векторов?
Записываете матрицу системы
0 -2 2
0 0 0
0 2 -2
она эквивалентна матрице (0 2 -2). Составляем соответствующую ей систему:
0*X1+2 * X2 - 2 * X3 = 0
получаем X2=X3, то есть решение
X1=С1
X2=С2
X3=С2
Составляем ФСР: она имеет два решения
X1 X2 X3
1 0 0
0 1 1
и собственные векторы (1, 0, 0), (0, 1, 1). Аналогично и длясобственного значения 3.

Автор: Drampir 27.12.2007, 1:59

Простите не понимаю, что такое ФСР .
Когда в характеристическое уравнение подставляю лямда = 5
получается что X1 сокращается и уранения остаются вообще без него это нормально?

Автор: tig81 27.12.2007, 6:07

ФСР -это фундаментальная система решение, т.е. это такое решение через котрое мы можем выразить любое другое, или еще говорят, что это базис решений.


ну во-первых X1 не сокращается, а просто коэффициент при нем =0, т.е. X1 можна брать любое, но так, чтобы собственный вектор не получился =нулевому, т.к. это противоречет определению собственного вектора