частное решение следует искать в виде
Yч=Ax+B
Yч'=A
Yч''=0
Подставим в уравнение y''+2y'+2y=1+x
получим 0+2А+2(Ах+В)=1+х
А=1/2 , В=1/2 подставим в уравнение Yч=Ax+B=1/2x+1/2=1/2(x+1)