задания на опр.интеграл
1)вычислить площадь фигуры,ограниченной линиями
r=2+cosα
графиком судя по всему является окружность,но как найти радиус и все остальное не знаю=(

2)подскажите,пож-та, как правильно вычисляется?
L=интеграл от 0 до 5 ,корень квадратный(под корнем 1+(9/4)x) корень закрывается dx.

на одном сайте нашла подобный пример,и по аналогии вычислила,получилось след.:
L=инт(от 0 до 5)корня кв.(под корнем 1+(9/4)x) dx=4/9*2/3(1+9x/4)^3/2|(0 до 5)=8/27(1+45/4)^3/2=
8/27корень кв.(под корнем (49/4)^3)=8/27Корень кв(под корнем 117649/64)=343/27=прибл.12,7

а на др.сайте такой же примео нашла и там немножко по другому:
L=инт(от 0 до 5)корня кв.(под корнем 1+(9/4)x) dx=8/27(1+9x/4)|(от 0 до 5)=335/27

3)вычислить площадь поверхности,образованной вращением вокруг оси OX астроиды
x=3cos(в кубе)t , y=3sin(в кубе)t

вычисляется,я так думаю,по этой формуле: Sx=2пи интеграл(от альфа до бета)y*корень кв.(под корнем x' все в квадрате +y' все в кв.,корень закрывается dt.
но я не знаю как именно выбрать альфа и бета,ведь в условии их не дано,и все-таки я взяла их от 0 до пи/2,проверьте пож-та ход решений)

(3cos(в кубе)t)'=-9cos(в кв)tsint
(3 sin(в кубе)t)'=9sin(в кв)tcost
Sx=2пи инт.(от альфа до бета)3sin(в кубе)t корень(под корнем 81cos(в 4 ст)tsin(в кв)t+81sin(в 4 ст)tcos(в кв)t корень закрывается dt=2пи инт.(от альфа до бета) 3sin(в кубе)t(9sintcostdt)=2пи инт.(от альфа до бета)3sin(в кубе)t9sintcostdt=2пи*27инт.(от 0 до пи/2)sin(в 4 ст)costdt=54пи инт.(от 0 до пи/2)sin(в 4 ст)td(sint)=54пи*sin(в 5 ст)t/5|(от 0 до пи/2)=54пи/5(sin(в 5 ст)пи/2-sin(в 5 ст)0)=54пи/5

1) s=1/2 *int(r^2)da, a=0..Pi
2) верно
3) жуть. проверять не стал. Формула вроде верная. Интегрирование от 0 до Pi и интеграл удвоить.

спасибо=)
вот только остались кое-какие вопросы:
в 1-м примере,a=0..Pi,это же пределы интегрирования от 0 до пи?
а во 2-м примере я написала 2 решения,но ответы разные,так какой правильный?

2)подскажите,пож-та, как правильно вычисляется?
L=интеграл от 0 до 5 ,корень квадратный(под корнем 1+(9/4)x) корень закрывается dx.

на одном сайте нашла подобный пример,и по аналогии вычислила,получилось след.:
L=инт(от 0 до 5)корня кв.(под корнем 1+(9/4)x) dx=4/9*2/3(1+9x/4)^3/2|(0 до 5)=8/27(1+45/4)^3/2=
8/27корень кв.(под корнем (49/4)^3)=8/27Корень кв(под корнем 117649/64)=343/27

а на др.сайте такой же пример нашла и там немножко по другому:
L=инт(от 0 до 5)корня кв.(под корнем 1+(9/4)x) dx=8/27(1+9x/4)|(от 0 до 5)=335/27

ну а в 3-м примере,если интегрировать от 0 до пи,у меня вообще ноль получается...

2) L=инт(от 0 до 5)корня кв.(под корнем 1+(9/4)x) dx=8/27(1+9x/4)^(3/2) |(от 0 до 5)=335/27

спс,поняла ошибку в своих вычислениях)
но в 3-м задании площадь не может 0 равняться,подскажите в чем ошибки

у меня не равно нулю

S=2пи∫(от альфа до бета)3sin³t√81cost^4*sin²t+81sint^4*cos²t dt=2пи∫(от альфа до бета)3sin³t9costsint dt=54пи∫(от 0 до пи)(sint^4)*cost dt=54пи∫(от 0 до пи)(sint^4)d(sint)=54пи*((sint^5)/5)|от 0 до пи=54пи/5*(sinпи^5-sin0^5)=0

у меня только так получается,ну прям никак не могу правильно решить(( хэлп ми