Такой пример: int cos 2x/e^x dx. Пытаюсь решить его по частям.
cos 2x dx принимаю за dv, а е^(-x) за u. Далее пишу по формуле: uv - int v du. Получается выражение:
-cos 2x * e^(-x) - int 2 * e^(-x) * sin 2x dx. Ничего по сути не поменялось. Опять получился интеграл от произведения е на тригонометрическую функцию. Предполагаю, что это интеграл, приводящийся сам к себе. Но как его привести не знаю.

I = int cos 2x/e^x dx = int cos 2x * e^(-x) dx = -int cos 2x d(e^(-x)) =
= -cos 2x * e^(-x) + int e^(-x) d(cos 2x) =
= -cos 2x * e^(-x) - 2 * int e^(-x) * sin 2x dx =
= -cos 2x * e^(-x) + 2 * int sin 2x d(e^(-x)) =
= -cos 2x * e^(-x) + 2 * sin 2x * e^(-x) - 2 * int e^(-x) d(sin 2x) =
= -cos 2x * e^(-x) + 2 * sin 2x * e^(-x) - 4 * int cos 2x * e^(-x) dx + C
Получили, что
I = -cos 2x * e^(-x) + 2 * sin 2x * e^(-x) + C - 4 * I
5 * I = -cos 2x * e^(-x) + 2 * sin 2x * e^(-x) + C
Значит
int cos 2x/e^x dx = -1/5 * cos 2x * e^(-x) + 2/5 * sin 2x * e^(-x) + C

Спасибо