В том виде, в котором дано условие - используется (радикальный) признак Коши.
Непонятно, почему сумма начинается с 2?
Может быть
∑_(n=2)^∞▒((2n+1)/(2n-1))^3n
либо
∑_(n=2)^∞▒((2^n+1)/(2^n-1))^3n ?
В первом случае общий член ряда не идет к 0 (второй замеч. предел).