В том виде, в котором дано условие - используется (радикальный) признак Коши.
Непонятно, почему сумма начинается с 2?

Может быть

∑_(n=2)^∞▒((2n+1)/(2n-1))^3n

либо

∑_(n=2)^∞▒((2^n+1)/(2^n-1))^3n ?

В первом случае общий член ряда не идет к 0 (второй замеч. предел).