Uropb
Сообщение
#51282 20.1.2010, 16:44
int e^x*cos(x)dx=?
брал:
u=e^x
du=e^xdx
dV=cos(x)dx
v=-sin(x)
интегрирую интугрирую и ответа не получается...пример бесконечный чтоли или у меня мозг поплавился?
помогите пожалуйста=)
Uropb
Сообщение
#51286 20.1.2010, 17:24
Решение.
1. Представим данный интеграл в виде
∫ ex · (sinx)' dx.
Используя формулу интегрирования по частям
∫ U(x) · V'(x) dx = U(x) · V(x) − ∫ U'(x) · V(x) dx
с U(x) = ex и V(x) = sinx , получаем:
∫ ex · (sinx)' dx = ex · sinx − ∫ (ex)' · sinx dx. (2)
2. Последний интеграл представим в виде
∫ (ex)' · sinx dx = − ∫ ex · (cosx)' dx
и применим формулу интегрирования по частям
∫ U(x) · V'(x) dx = U(x) · V(x) − ∫ U'(x) · V(x) dx
с U(x) = ex и V(x) = cosx . Получаем
∫ (ex)' · sinx dx = − ∫ ex · (cosx)' dx = − ex · cosx + ∫ (ex)' · cosx dx = − ex · cosx + ∫ ex · cosx dx (3)
3. Сопоставляя (2) и (3), получаем:
∫ ex · cosx dx = ex · sinx + ex · cosx − ∫ ex · cosx dx .
Прибавляя к обеим частям этого равенства ∫ ex · cosx dx и учитывая, что ∫ f(x)dx − ∫ f(x)dx равно не нулю, а произвольной постоянной C , имеем:
2 ∫ ex · cosx dx = ex · sinx+ex · cosx + C.
Поэтому
∫ ex · cosx dx = (ex · sin x + ex · cos x)/2 + C1 ,
tig81
Сообщение
#51293 20.1.2010, 18:28
Рассуждения верны, ответ тоже.
Uropb
Сообщение
#51296 20.1.2010, 19:04
благодарю...но завтра точно будит пример в 5раз труднее=)