1) Почему при интеграле множитель 1/sqrt{pi}? При таком множителе интеграл не единица. Множитель в нормальной плотности должен быть 1/sqrt{2*pi*sigma^2}, а sigma^2 у Вас 1/8=0,125. И зачем тут вообще интеграл? Не проще приравнять mu*e^(5/4) к тому множителю, который и должен быть при экспоненте в нормальной плотности?

2) Матожидание вообще непонятно как вычисляли и зачем. Как математическое ожидание нормального распределения выражается через его параметры?

3) Функция распределения не равна _неопределенному_ интегралу от плотности.

4) График функции распределения нормального закона посмотрите в википедии. А лучше постройте по точкам.

5) Альфа и бета перепутали.