1)У Вас общий член a_n=8^n/n!, а не a_n=n/n!
2)Проинтегрировали неправильно.
3)Зачем Вам замечательный предел здесь? Это ведь lim(1+1/n)^n при n->oo, а у Вас совсем не такое выражение получается.
4)Что значит "такое"? Вы даже предел неправильно посчитали.
5)Надо использовать признак Лейбница.