z=x*A*e^x
z'=A*x*e^x+A*e^x
z''=2*A*e^x+x*A*e^x

z''+z'-2z=-e^x
2*A*e^x+x*A*e^x+A*x*e^x+A*e^x-2*x*A*e^x=-e^x
3*A*e^x=-e^x
A=-1/3

z=(-1/3)*x*e^x - частное решение