Извините крыша едет

z''+3z'+4z=2(z'+3z-e^x)+e^x
z''+3z'+4z-2z'-3z=0
z''+z'+z=0

z=e^kx
z'=k*e^kx
z''=(k^2)*e^(kx)

(k^2)*e^(kx)+k*e^kx+e^kx=0
e^(kx)*(k^2+k+1)=0
k1=(-1+корень3i)/2
k2=(-1-корень3i)/2
комплексные числа:
z1=e^(-x)cos(3x)
z2=e^(-x)sin(3x)
z=e^(-x)cos(3x)+e^(-x)sin(3x)