Функции, стоящие слева и справа четные, поэтому можно рассмотреть уравнение при 0<х<1
x^2*(1-x^2)^(1/2)=x^3-x+1/2^(1/2)
x^2*(1-x^2)^(1/2)+x-x^3=1/2^(1/2)
x^2*(1-x^2)^(1/2)+x*(1-x^2)=1/2^(1/2)
x*(1-x^2)^(1/2)*(x+(1-x^2)^(1/2))=1/2^(1/2)
x+(1-x^2)^(1/2)=1/(x*(2*(1-x^2))^(1/2))
Возведем обе части в квадрат
2*x*(1-x^2)^(1/2)+1=1/(2*x^2*(1-x^2))
Пусть x*(1-x^2)^(1/2)=t, где t > 0.

2*t+1=1/(2*t^2)
4*t^3+2t^2-1=0
t=1/2
Дальше только вернуться к замене и найти х.

Решение не строгое..., просто идея.