Здравствуйте, проверьте пожалуйста решение неоднородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
Я решал методом вариации произвольных постоянных.
1) y'''+y''=49-24x^2
y=e^(kx)
y'=ke^(kx)
y''=(k^2)*e^(kx)
y'''=(k^3)*e^(kx)
y=y0+y*
(k^3)*e^(kx)+(k^2)*e^(kx)=0 (нахожу общее решение)
(k^2)*e^(kx)*(k+1)=0
k=0 и k=-1
тогда y1(0)=1 и y2(-1)=e^(-x)
значит y1/у2=e^(x) линейно независимо
общее решение y0=с(1)+с(2)*e^(-x)
нахожу частное решение y=a0+a1x+a2x^2+a3x^3
y*=x(a0+a1x+a2(x^2)+a3x^3)
y*=a0x+a1(x^2)+a2(x^3)+a3(x^4)
y*'=a0+2a1x+3a2x^2+4a3(x^3) домножение на 1
y*''=2a1+6a2x+12a3(x^2)
y*'''=6a2+24a3x
49-24x^2 представляем как 49+0*х-24x^2+0*x^3
составил систему:
6a2+2a1=49
24a3+6a2=0
12a3=-24
тогда
a3=-2
a2=8
a1=1/2
Ответ: y=y0+y*=x(1/2+8x^2-2x^3)+c1+c2*e^(-x)=1/2x+8x^3-2x^4+c1+c2*e^(-x)
2)y'''-6y''+9y'=4x*e^x
y=e^(kx)
y'=ke^(kx)
y''=(k^2)*e^(kx)
y'''=(k^3)*e^(kx)
y=y0+y*
нахожу общее решение
(k^3)*e^(kx)-6*(k^2)*e^(kx)+9*ke^(kx)=0
k*e^(kx)(k^2-6K+9)=0
k=0 и решая уравнение k=3
y1=1 и y2=e^(3x), линейно независимы т.к y1/y2=1/e^(3x)
y0=c1+c2*e^(3x)
нахожу частное решение y=a0+a1x+a2x^2+a3x^3
y*=x(a0+a1x+a2(x^2)+a3x^3)
y*=a0x+a1(x^2)+a2(x^3)+a3(x^4)
y*'=a0+2a1x+3a2x^2+4a3(x^3) домножил до (-6)
y*''=2a1+6a2x+12a3(x^2)
y*'''=6a2+24a3x
представил выражение 4x*e^x в виде 0+4x*e^x+0*х^2+0*x^3+0*x^4
составил систему
6a2-12a1+9a0=0
24a3-36a2+18a1=4
-72a3+27a2=0
36a3=0
тогда
a3=0
a2=0
a1=4/18
a0=-8/27
Ответ: y=y0+y*=-8/27x+4/18x^2+c1+c2*e^(3x)