Всем добрый вечер!

Найти предел:

lim(x->00) (2x+1)(ln(x+3)-ln(x+1))

записываем в таком виде:

lim(x->00) (ln(x+3)-ln(x+1))/(2x+1)^(-1)

применим правило Лопиталя - возьмем производные числителя и знаменателя:

числитель: (ln(x+3)-ln(x+1) d/dx=1/(x+3) -1/(x+1) = -2/(x^2+4x+3)

знаменатель: (2x+1)^(-1) d/dx= -(2x+1)^(-2) * 2 = -2/(2x+1)^2

получаем:

lim(x->00) (2/(x^2+4x+3))/(2/(2x+1)^2)=lim(x->00) ((2x+1)^2)/(x^2+4x+3)=

=lim(x->00) (4x^2+4x+1)/(x^2+4x+3)=


делим на x^2

=lim(x->00) (4+4/x+1/x^2)/(1+4/x+3/x^2)=lim(x->00) (4+0+0)/(1+0+0)=4


Все ли я правильно делаю?
Проверьте пожалуйста!

Спасибо!

Проверять лень, но получил тот же ответ без правила Лопиталя, заменяя бесконечно малые на эквивалентные:

lim(x->00) (2x+1)(ln(x+3)-ln(x+1))=
lim(x->00) (2x+1)(ln(1+2/(х+1)))=
lim(x->00) (2x+1)(2/(х+1))=4

А способ решения, которым я воспользовалась, верный?

подскажите, пожалуйста, если х стремится к бесконечности, как тогда решать похожие задачи? кажется, что через второй замечательный предел, но что делать со скобкой, которая умножается на логарифм частного?

В расмотренном примере x стремится к бесконечности.

Да.

Воспользоваться свойствами логарифмов и перенести ее в показатель степени.