А какое тут может быть обобщение? Рекуррентность имеет вид x_{n+1}=a_n*x_n+b_n, с заданными a_n и b_n. Ничего особенного не придумаешь (да и незачем) как выражать через предыдущий, потом через предпредыдущий, предпредпредыдущий ..., раскрыть и получится понятно какая сумма. Если a_n и b_n какие-нибудь особенные, то возможно упрощение.