Как доказать или как догадаться?

Доказать - по индукции, а догадаться что именно доказывать ... в общем тоже по индукции. Ясно, что x_n - дробь. Из реккурентности очевидно, что знаменатель этой дроби (если не сокращать на возможный общий множитель с числителем) - это n! Полагая x_n=y_n/n! получим y_{n+1}=y_n+n! откуда все ясно и с числителем.