Даны координаты вершин пирамиды А1(-1;3;5), А2(1;0;3), А3(2;-3;-1), А4(-2;-6;3). Найти:
1) длину ребра А1А2;
2) угол между ребрами А1А2 и А1А4;
3) площадь грани А1А2А4;
4) объем пирамиды;
5) уравнение грани А1А3А4;
6) уравнение высоты А2О;
7) высоту А2О.
Решение:
1) │А1А2│= √((1-(-1))^2+(0-3)^2+(3-5)^2= √(17) ед.

2) сosα= А1А2*А1А4 /│А1А2│*│А1А4│
А1А2= {1-(-1);0-3;3-5}={2;-3;-2}
А1А4= {-2-(-1);-6-3;3-5}={-1;-9;-2}
│А1А2│ найдено в п.1) , аналогично │А1А4│= √((-2-(-1))^2+(-6-3)^2+(3-5)^2= √(86) ед.
Следовательно сosα= (2*(-1)+(-3)*(-9)+(-2)*(-2))/(√(17) √(86)) = 29 / ( √(1462)
α = arсcos(29/(√(1462))
(если можно подскажите как упростить ответ - что можно сделать с корнем?)

3) S=1/2 |N|=1/2|А1А2*А1А4|
Найдем вектор нормали N к грани А1А2А4, как векторное произведение векторов А1А4 и А1А2. Координаты этих векторов найдены в п.2
А1А2= {2;-3;-2} А1А4= {-1;-9;-2}
....... i ...j...k
N= -1 -9 -2 =i* -9 -2 - j* -1 -2 +k* -1 -9 =i*(-9*(-2)+(-3)*(-2))-j*(-1*(-2)+2*(-2))+
....... 2 -3 -2 .....-3 -2........2 -2..........2 -3

+k*(-1*(-3)+2*(-9))=i24+j2-k15 (здесь и далее не обращайте внимания на точки, просто без них матрицы влево перемещаются и ничего совсем не понятно)))))))

N=(24;2;-15), |N|=√(24І+2І+(-15)І)=√805
S=1/2*√805 (ед^2) ( тоже не могу упростить ответ)

4)V=1/6*|А1А2, А1А3, А1А4|
Координаты векторов:
А1А2= {1-(-1);0-3;3-5}={2;-3;-2}
А1А4= {-2-(-1);-6-3;3-5}={-1;-9;-2}
А1А3= {2-(-1);-3-3;-1-5}={3;-6;-6}
..............2 -3 -2
V=1/6* 3 -6 -6 =1/6*(2*(12-54)+3*(-6-6)-2*(-27-6))= -54/6= -9 (ед^3)
..............-1 -9 -2
Ответ получился отрицательный. Насколько помню здесь можно брать по модулю - я права?

5) воспользуемся формулой уравнения плоскости, проходящей через три точки
x-x1.....y-y1....z-z1
x3-x1....y3-y1...z3-z1 =0
x4-x1....y4-y1...z4-z1
т.о. составим матрицу:
x+1....y-3.....z-5........x+1.....y-3.....z-5
2+1....-3-3....-1-5 =....3........-6........-6 =(x+1)(12-54)-(y-3)(-6-6)+(z-5)(-27-6)=
-2+1...-6-3.....3-5......-1........-9.......-2
= - 42x+12y-33z+87
- 42x+12y-33z+87 =0 (разделим на -3)
14x-4y+11z-29=0

6) А здесь вопрос: уравнение высоты находим как Уравнение прямой по точке и вектору нормали? И вектор нормали находить по аналогии с п.3, только брать уже векторное произведение векторов А1А4 и А1А3? или как?

7) h=3*V/Sоснования
Объем у нас найден в п.4.
А дальше у меня застопорилось, площадь основания: в п.3 я находила S A1A2A4, а здесь рассматривается высота из точки А2, значит снова надо находить площадь только уже грани А1А3А4?
или я ничего не понимаю.... уже...

В 3) неправильно детерминанты находите.
|a b|
|c d| = ad-bc.

Конечно же!!!
будет все вот так:

i*(-9*(-2)-(-3)*(-2))-j*(-1*(-2)-2*(-2))+ k*(-1*(-3)-2*(-9))=i12-j6+k21
N=(12;-6;21), |N|=√(12^2+(-6)^2+21^2)=√621
S=1/2*√621(едІ)

В 4) когда считали объём,в последней скобке -27-6, хотя должно быть +27-6

Пардон, просто неправильно записала матрицу - во второй строке +3 -6 -6 должно быть конечно.
Вот что значит решеть математику по ночам

А как остальные пункты? меня особенно волнуют п.6 и п.7