функция нечетная или производная нечетная? Если производная, то зачем нам это надо? Что называется четной/нечетной функцией?

Дробь рана нудю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен.

это не все значения независимой переменной, при которых производная обращается в нуль

y'(x)=(4x^2+24x)/(x+3)^2
y'(1)=(4*1^2+24*1)/(1+3)^2=28/16. Т.е. при х=1 производная замечательно существует и еще как!

П.С. Область определения у вас также неправильно найдена.