объясните пожалуйста, как получается последняя матрица, не пойму как она заполняется

Хм... В решении же всё подробно расписано.

вот эти 2 значения как получаются?

Ф(u,v) задано. Выпишите все частные производные этой функции

взяла производные по u и v для каждой функции и действительно получилась такая матрица. Можно тогда проверить правильно ли я нашла частные производные для такой функции

Функция Ф, синус с каким аргументом?

извините, вот как это все выглядит:

Элементы ф11 матрицы Ф' - это что за производная? По какой переменной дифференцируете?

это произв-я 1-й части ф-ции по u

А корень где делся? Относительно u - это константа, которую можно выносить за знак производной. Кажется, производные найдены неверно.

а что неправильно в этой производной?

производная от второго слагаемого (косинус квадрат) взята неверно

а вот так вот
cos(-u+v)*-10sin(-u+v)

Если вот так, то вроде верно.
Вспомните, чему равно произведение 2sinx*cosx.

получается -5*(sin2x)

тогда вот эти производные правильно взяты?

да

нет, производную от произведения корня на арктангенс неверно нашли (dФ/dv).

а вот так вот правильно:

так лучше

а вот эти производные правильно взяты:

похоже на правду