Хм, забавно, не вижу, где тут можно приклеить двойные п.ф. ...

Ну ладно, если нигде не ошибаюсь: дальше рядом выписываете f(n+1,z), в ней n слагаемых (причём последнее тоже содержит f(n,z)), а в f(n,z) - (n-1) слагаемое. И общие слагаемые у этих двух сумм очень похожи - только множителем отличаются: P(K(n+1) = k)/P(K(n) = k) = 1 - 1/n^2.
Поэтому f(n+1, z) = (1-1/n^2)*f(n,z) + z*f(n,z)/n^2 = f(n,z)*(1- (1-z)/n^2).

Отсюда f(n+1,z) = Prod(k=1..n) [1 - (1-z)/k^2], если f(1,z) = 1 = E z^0.

Вот только что за распределение у величины с такой п.ф., всё равно не видно - надо искать что-нибудь по её поводу в литературе. Матожидание и дисперсия легко считаются через ряды матожиданий/дисперсий бернуллевских величин. Сумма 1/k^2 от 1 до +оо есть пи^2/6, cумма 1/k^4 от 1 до +оо есть пи^4/90.