Обозначу п.ф. X(n) через f(n,z)
f(n,z) = E z^{X(n)} = sum(k=1...n-1) E z^{X(k)+1}*P(K(n)=k) = z* sum(k=1...n-1) P(K(n)=k)* f(k, z).
Отсюда и пляшите.

Да, производящая фунция суммы независимых с.в. есть произведение их п.ф. Только это помогает уже в самом конце, для интерпретации ответа.

Я правильно понимаю, что речь никак не идет ни о какой учебной задачке? Минимум курсовая или диплом, или задачка от шефа, а судя по календарю, ещё и не сделанная вовремя? Боюсь, требовать ещё больших подробностей по её решению тут не имеет смысла.