Исследовать на сходимость числовой ряд:
∞
∑ sin( (pi*3^n)/(4^n + e^n) ) ?
n=1

необходимый признак сходимости (но не достаточный):
lim sin( (pi*3^n)/(4^n + e^n) ) = 0
n->∞

т.к.
lim (pi*3^n)/(4^n + e^n) =
n->∞

=lim pi / ( (4/3)^n + (e/3)^n ) = |1/∞|=0
n->∞

где lim (4/3)^n ->∞ и lim (e/3)^n ->0

А вот как дальше исследовать сходимость? Даламбера, интегральный, Коши применить не получилось,
предельный сравнения - мешает e^n. Как быть?

Ясно, что

|sin( (pi*3^n)/(4^n + e^n) )|<1/4^n

Поэтому исодный ряд сходится, причем абсолютно.

Спасибо. Попробую.