Решаю дифуравнение k^2=0, => k1=k2=0. y=C1+C2x. Далее ищем частное решение, и вот тут начинаются проблемы. Я решаю вот так y=e^(-x)*Ax, y' = -e^(-x)*(Ax)+e^(-x)*A=e^(-x)*(A-Ax), y"=-e^(-x)*(A-Ax)+e^(-x)*(-A)=e^(-x)*(Ax-2A). Потом подставляем в левую часть и сокращаем на e^(-x). Получаем Ax-2A=-4x. Вот здесь не знаю как быть. Ощущение такое, что решение неправильное.

Подстановка y'=p, дальше получите уравнение с разделяющимися переменными..

Нельзя. Задача именно решить таким методом. Т.е. найти общее и частное решение.

y = (Ax + B ) * e^(-x)
y' = A * e^(-x) - (Ax + B ) * e^(-x) = (-Ax + A - B ) * e^(-x)
y'' = (-A) * e^(-x) - (-Ax + A - B ) * e^(-x) = (Ax - 2A + B ) * e^(-x)
(Ax - 2A + B ) * e^(-x) = -4x * e^(-x)
Ax - 2A + B = -4x
A = -4, B = -8
Получаем, что
y = C1 + C2 * x - 4 * (x + 2) * e^(-x)

Я получала уже такой ответ, но что-то именно то, что имею B, как-то меня настораживает, я почему-то считала, что если у меня в правой части образно говоря Ax+B,где B=0,то и частное решение должно состоять из 1 члена, а у нас получается 2-а. Ну т.е. мне казалось, что после подстановке в левую и правую часть должно остаться типа Ax=-4x и все. Может я конечно не права.

Спасибо большое за помощь Троллю. Типовик проверили, решение правильное. Еще раз спасибо.

Конечно правильное. Проще всего списать готовый ответ, чем его получить. Будете должны.