Существует ли параллель между симметричностью правильного шестиугольника и трёхмерного креста, имеющего шесть направлений? Шестиугольник на "втором месте" по симметричности после круга, а в случае трёхмерного креста после шара наиболее симметричен - октаэдр? Не по равносторонним ли треугольникам "родственны-симметричны" шестиугольник и трёхмерный крест?

Вот две дилетантские попытки доказательства максимальной симметричности трёхмерного креста:
1. Если на его шести направлениях отметить равноудалённые от центра точки, то между каждыми ближайшими тремя образуются равносторонние треугольники, и они впишутся в шар с центром, совпадающим с центром трёхмерного креста. (В Интернете я ничего не нашёл на сей счёт, но думаю, что это возможно только в трёхмерном кресте.) Так же и на плоскости в правильном шестиугольнике между двумя вершинами и центром образуется равносторонний треугольник. То есть, на трёхмерном кресте в шар вписываются 8 равносторонних треугольников ( октаэдр), а на плоскости в круг - 6 ( гексагон). Равносторонний треугольник - это симметричная фигура, шар и круг - тоже.
2. Доказательство по методу аналогии:
Самая симметричная фигура на плоскости - это круг. Ближайшим "родственником" круга является правильный шестиугольник: если шесть кругов вокруг одного круга сжать до "плотной упаковки", то получим шесть шестиугольников вокруг одного ( соты).
В объёме вокруг шара может выстроиться вплотную 18 шаров. Если их сжать до "плотной упаковки", то получим 18 правильных октаэдров вокруг одного. То есть, как шестиугольник - это сжатый круг, так и октаэдр - это сжатый шар. А октаэдр выстраивается как раз на трёхмерном кресте на равноудалённых от центра точках.
Вывод: трёхмерный ( шестинаправленнный) крест - самая симметричная структура в объёме, так как является основой для самой "родственно-симметричной" шару объёмной фигуры - правильного октаэдра.

То есть, и в объёме, и в плоскости шестеричные структуры наиболее симметричны. С плоскостью всё просто, а вот с объёмом я, как говорится, понимаю, а доказать не могу. Или всё-таки доказал?