досюда дошли не верно. должно быть
int e*e^(-x^2)*xdx

теперь нужно подвести под знак дифференциала (-x^2)

d(-x^2)=-2x dx
dx= d(-x^2)/(-2x)

теперь

int e*e^(-x^2)*xdx = int e*e^(-x^2)*x d(-x^2)/(-2x)
int (-e/2)*e^(-x^2) d(-x^2) => [-x^2 =p] =>int (-e/2)*e^p dp=(-e/2)*e^p+С=> (-e/2)*e^(-x^2 )+C = (-1/2)e^(1-x^2)+C