Я так понял задачу:
Есть область D={z| 1<|z|<2, Re z > 0}, а L - это контур, ограничивающий эту область. Он состоит из двух отрезков и двух полуокружностей. Интеграл по этому контуру - это просто криволинейный интеграл. Направление обхода не указано, значит по умолчанию предполагаем обход против хода часовой стрелки. Вот этот контур естественно и резать на 4 части с напрашивающейся параметризацией каждой части. От аналитической функции интеграл по замкнутому контуру равен нулю, а здесь аналитичности нету, поэтому считать надо, но всё просто - тупо на каждом кусочке через параметризацию сводим к определённому интегралу и всё.

P.S. Топикстартер, похоже, потерял интерес к своему вопросу, поэтому решил добавить. Если сообразить, что на каждом из 4-х кусочках подинтегральная функция совпадает с аналитической вне нуля - одна на отрезках и по одной на каждой из полуокружностей, то и параметризовать не надо, это слегка упрощает счёт и без того простой. Итого: 4i.