L какая-то странная - это же область (полукольцо) ...

Рискну предположить, что L - это контур, ограничивающий это полукольцо при молчаливом соглашении, что обход совершается против хода часовой стрелки. Разумеется параметризация будет кусочной - два отрезочка и две полуокружности - вот по кусочкам и параметризуйте. Отрезок прямой 1<x=y=t<2 никоим боком к задаче не касается, он имеет только одну общую точку с контуром.