Насчёт поправок - у меня получилось несколько другое выражение для общего члена суммы - проверьте.
Насчёт факториала - просто в цикле пусть у вас будет текущий коэффициент перед иксом в некоторой степени.Выразите следующий коэффициент через этот текущий,умножьте его на икс в нужной степени и прибавляйте к текущей сумме.
Вам в программе нужно с помощью ряда вычислить значение функции?