lim (1-cos8x)/tg^2(2x). x стремится к нулю. Я уже все методы перепробовала. Пример не решается, а все более и более усложняется в процессе решения. Наверно делаю неправильно. Пробовала представить 1-cos8x=2sin^2(4x), тогда после взятия производных получаем 8cos4x/(2tg2x/cos^2(2x)). И дальше никаких хороших идей у меня нет. Можно конечно записать (4cos4x*cos^2(2x))/tg2x Но дальше что с этим делать?

Нужно именно с помощью Лопиталя?
Можно использовать замену на бесконечно малые.
sin 4x можно заменить на 4x, а tg 2x на 2x.

Первый замечательный предел.

Maple

Задача в том и состоит, чтобы решить именно через Лопиталя

lim (1 - cos 8x)/tg^2 2x = lim 8 * sin 8x/(4 * tg 2x * 1/cos^2 2x) = 2 * lim sin 8x/tg 2x =
= 2 * lim 8 * cos 8x/(2/cos^2 2x) = 2 * 8/2 = 8

lim 8 * sin 8x/(4 * tg 2x * 1/cos^2 2x). А куда в этом выражении вы дели * (1/cos^2 2x)?

при х->0 1/cos^2 2x = 1.

Спасибо огромное. Вы мне очень помогли.