1. Радикальный признак Коши не отвечает на вопрос о сходимости ряда. Поэтому необходимо использовать другой признак.
В данном случае подойдет, например, интегральный признак Коши - надо доказать сходимость интеграла (от 1 до +00) от функции
f(x)=(x^(-5/2))*lnx
2. Написанный предел =0 при х=0 и равен бесконечности при х не равном 0. Поэтому область сходимости состоит из одной точки х=0. Можно и так: по формуле найти радиус сходимости этого степенного ряда, получить R=0, вывод тот же.
3. представить функцию в виде 2*[1+(5/4)x]^(1/2)

Далее выписать известное предмтавление по степеням х
для функции (1+x)^(1/2), умножить все на 2, а вместо х подставить

(5/4)x

Кто у вас там математику ведет? Хусаинов, Сагарадзе, Гребенников или кто-то еще?