вопрос: почему при вычитании k-k^3 получилось k^3?
Так получилось не при вычитании, а потому что в левой части равенства есть +k, которое взаимо уничтожилось с таким же +k, стоящим в правой части равенства.

Цитата
далее надо интегрировать?
но сначала с левой части надо перенести k в правую часть. так?
но сначала с левой части надо перенести k в правую часть. так?

да, разделяйте переменные. Все что с k влево, все, где есть х - вправо.