В окрестности точки (0;0) уравнение x(x-3)^2 - 3y^2 =0 определяет единственную функцию x(y), отсюда и исходите. В том числе получите и касательную и нормаль к кривой.

Точка (3;0) - узловая, в ней ветвление |y|=|x-3|\sqrt{x/3}.
Можно выбрать две дифференцируемые веточки y=(x-3)\sqrt{x/3} и y=(3-x)\sqrt{x/3}, пересекающихся под прямым углом. Ни касательной ни нормали к кривой нет.