Пожалуйста: есть 3 шара и 3 различных ящика. Перечислю все возможные размещения (отличные друг от друга), если:
1) шары различимы. В этом случае одно расположение шаров от другого отличается как тем, сколько шаров с каждом ящике, так и тем, какие они имеют номера
ящик 1 | 2 | 3
-----------------
шары 1,2 | - | 3
шары 1,3 | - | 2
шары 2,3 | - | 1
шары 1 | - | 2,3
шары 2 | - | 1,3
... и так 27 раз.
Сразу видно, что будет, перестань мы различать шары:
2) шары неразличимы. В этом случае, например, первые три размещения просто не отличаются. Тогда чем же одно размещение отличается от другого? Очевидно: тем (и только тем), сколько шаров лежит в каждом ящике. А не тем, какие у них номера. Поэтому кодировать исходы буду иначе:
номер ящика 1 | 2 | 3
--------------------------
число шаров 2 | 0 | 1
число шаров 2 | 1 | 0
число шаров 1 | 2 | 0
число шаров 1 | 0 | 2
число шаров 0 | 1 | 2
число шаров 0 | 2 | 1
число шаров 1 | 1 | 1
число шаров 0 | 0 | 3
число шаров 0 | 3 | 0
число шаров 3 | 0 | 0

Берём три шарика и две палочки - они выше изображают границы ячеек. И размешаем всё это по пяти местам: ooo||| - это последнее размещение, |ooo| - предпоследнее, oo||o - первое и т.п.

Нужное нам число размещений трёх неразличимых шаров по трём ящикам есть число способов разместить 3 единички на пяти местах С(5;3)=10. В случае k неразличимых шаров и n ящиков это будет C(n+k-1;k). Это называют числом сочетаний "с повторениями".