y''+y'=e^x/(2+e^x)
решение однородного уравнения y=C_1+C_2e^(-x)
Найдем теперь решени K(x,s) из условий
y(s)=0,
y'(s)=1.
Получим
C_1+C_2e^(-s)=0,
-C_2e^(-s)=1.
Отсюда C_2=-e^s, C_1=1.
Таким образом, K(x,s)=1-e^(s-x).
Частное решение неоднородного находится как
y(x)=int_(x_0)^x K(x,s)f(s)ds,
где f(s) - правая часть уравнения.
Это замечательная формула и называется формулой Коши.