Ну например обратную матрицу для матрицы
1 2
1 3
Присоединяем справа единичную матрицу.
1 2 1 0
1 3 0 1
Вычтем из второй строки первую
1 2 1 0
0 1 -1 1
Вычтем из первой строки удвоенную вторую
1 0 3 -2
0 1 -1 1
Слева получаем единичную матрицу. Тогда обратной будет матрица
3 -2
-1 1
Действительно, если перемножить матрицу
1 2
1 3
и матрицу
3 -2
-1 1
получаем единичную матрицу.