1) Пусть не сущ. lim(x->+inf)F(x), но ф-я имеет конечное число нулей производной. Тогда существует интервал (а,+00), на котором производная не меняет знак, т.е. везде полож. или везде отрицательна. Тогда на этом интервале она монотонна и ограничена, а потому по соответствующей теореме должна иметь предел.
3) От противного, а далее почти то же самое.