А у множеств A( r ) = {(r,y) | 0<= y <=1, y иррационально} при других 0 <= r <= 1 лебегова мера какова?

Осталось понять-таки, как составлено множество, лебегова мера которого Вам нужна (множество точек квадрата, у которых первая координата рациональна, вторая - иррациональна) из "вертикальных отрезков" A( r ), где r - некоторое рациональной число от 0 до 1. Ну и воспользоваться счётной аддитивностью меры Лебега.