Да, не очень получается. При чём тут наличие точек c рациональными координатами у множества A( r )? Мера Лебега на прямой и на плоскости - две разные меры. Мерой Лебега на прямой не измеряют площади множеств на плоскости.

Давайте рассмотрим множество B( r ) = {(r,y) | 0 <= y <= 1}. Какова его мера Лебега (мы говорим о мере Лебега на плоскости, я надеюсь)? Например, множество B(0)={(0,y) | 0<= y <=1} - левая граница квадрата. Или множество B(1)={(1,y) | 0<= y <=1} - правая граница квадрата. Или множество B(1/2)={(1/2,y) | 0<= y <=1} - вертикальный отрезок, делящий квадрат пополам. Каковы их меры Лебега (площади, по-русски)?