Функция распределения показательного распределения НЕ РАВНА exp(-x1). Это вообще не может быть функция распределения - она убывает. А плотность не может быть отрицательна.
Попробуйте, пожалуйста, запомнить хотя бы основные характеристики основных распределений и их свойства.

Несмотря на это совместная плотность получилась верная, но только при x1 >0, x2 >0.

А что за неопределённый интеграл Вы считаете? Это двойной интеграл. По какой области D нужно интегрировать? Если подставить пределы от 0 до 1 и от 0 до 1, получится вероятность события 0<=E(1)<=1, 0<=E(2)<=1. Это не то событие, которое нужно.