У вас наверное за давностью лет приведение матрицы к диагональному виду попуталось с элементарными преобразованиями при вычислении определителя.
Тут вопрос в том, какими средствами можно пользоваться, а это определяется смыслом решаемой задачи.
Если у вас есть матрица и нужно вычислить её определитель, это можно сделать в лоб по известным формулам, но это утомительно и для больших матриц становится просто неподъёмно даже для компьютера. Но можно схитрить, заметив, что существуют преобразования матрицы, не меняющие определителя. Т.е. вы заменяете матрицу на другую, но с тем же определителем. Этими преобразованиями ситуация приводится к матрице, для которой всё очевидно и считается в уме. Достаточно привести к верхней треугольной.

Когда говорят о приведении матрицы к диагональному виду, имеют в виду совсем другое.
Если выбрана конкретная система координат, то матрица задаёт некоторое линейное отображение, т.е. позволяет по координатам точки найти координаты её образа. Именно отображение (изучение его свойств) является целью в данном случае. Тут тоже можно схитрить, заметив, что в другой системе координат (например, повёрнутой) то же самое отображение будет задаваться другой матрицей, и можно попытаться выбором подходящей СК сделать матрицу попроще. Так и возникает задача о приведении матрицы к диагональному виду. Название, как видно, неудачное: приводится-то не матрица, а то отображение, которому она соответствует.
Для решения этой задачи надо понять, как меняется матрица при замене координат и чего можно добиться именно такими преобразованиями. Оказывается, что симметричная матрица приводится всегда, а несимметричная необязательно. Зато любую матрицу можно привести к жордановой нормальной форме.