Сначала найдем общее число диагоналей выпуклого 2n-угольника. Из каждой вершины выходит 2n-3 диагоналей. Вершин всего 2n, и каждая диагональ выходит ровно из двух вершин, поэтому количество
диагоналей равно 2n * (2n-3)/2 = n * (2n-3). Найдем максимальное число диагоналей, которые могут быть параллельны одной и той же стороне. Фиксируем одну из сторон многоугольника, обозначим ее за d. Каждая диагональ, параллельная стороне d, соединяет две из 2n-2 вершин, не являющихся концами стороны d, причем ни одна из этих вершин не может являться концом двух диагоналей, параллельных d. Таким образом, диагоналей, параллельных d, не больше, чем (2n-2)/2 = n-1. Докажем, что диагоналей, параллельных d, не больше, чем n-2. Предположим противное: пусть диагоналей, параллельных d, ровно n-1. Тогда эти диагонали располагаются на n-1 прямых, параллельных cтороне d. Рассмотим ту из этих прямых — прямую m, которая наиболее удалена от стороны d. Прямая m не может содержать диагональ многоугольника, поскольку все вершины многоугольника лежат по одну сторону от нее — получаем противоречие. Значит диагоналей, параллельных одной из сторон, не больше, чем n-2. Следовательно, диагоналей, параллельных некоторой стороне, не больше, чем 2n * (n-2). А так как 2n * (n - 2) < n * (2n - 3), то найдется диагональ, не параллельная ни одной из сторон.