y = (x^2+21)/(x-2)
1. D(y)=(-inf, 2] U [2, +inf)
2. x=2 - точка разрыва второго рода, так как
lim from x->2-0 {y(x)}=-inf
lim from x->2+0 {y(x)}=+inf
3. Функция не является ни чётной, ни нечётной.
4. y'(x) = (2x(x-2) - (x^2+21))/(x-2)^2 = (x^2-4x-21)/(x-2)^2=0
x^2-4x-21=0
D/4=4+21=25=5^2
x1=2-5=-3
x2=2+5=7
x1, x2 - точки, подозрительные на экстремум
y(-4)=(16+21)/(-4-2)=37/(-6)=-37/6
y(-3)=(9+21)/(-3-2)=30/(-5)=-6
y(-2)=(4+21)/(-2-2)=25/(-4)=-25/4
Следовательно, x=-3 - точка локального максимума.
На (-inf, 0] функция возрастает, на [0, +inf) функция убывает.
y(6)=(36+21)/(6-2)=57/4
y(7)=(49+21)/(7-2)=70/5=14
y(8)=(64+21)/(8-2)=85/6
Следовательно, x=7 - точка локального минимума.
5. y''(x)=((x^2-4x-21)/(x-2)^2)'=(1-25/(x-2)^2)'=50/(x-2)^3
y''(x)<0 при x<2
y''(x)>0 при x>2
Функция выпукла вверх на (-inf, 2) и выпукла вниз на (2, +inf).
6. Вертикальная асимптота x=2.
k=lim from x->inf {y(x)/x}=lim from x->inf {(x + 21/x)/(x-2)}=lim from x->inf {(1 + 21/x^2)/(1 - 2/x)}=1/1=1
b=lim from x->inf {y(x)-1*x}=lim from x->inf {y(x)-x}=lim from x->inf {(x^2+21-x^2+2x)/(x-2)}=lim from x->inf {(2x+21)/(x-2)}=lim from x->inf {(2 + 21/x)/(1 - 2/x)}=2/1=2
Горизонтальных асимптот нет, наклонная асимптота y=kx+b=x+2 (т.е. y=x+2).
7. y(x)=0
(x^2+21)/(x-2)=0
Точек пересечения функции с осью OX нет.
y(0)=21/(-2)=-21/2 => Точка (0, -21/2) - точка пересечения с осью OY.