Да, к 0.

Если там синус в квадрате, то (sin n)^2 <= 1.
Тогда (sin n)^2/n^2 <= 1/n^2
Ряд 1/n^2 сходится, значит сходится и исходный ряд, так как он меньше сходящегося ряда.

Есть такой признак: если a_n ~ b_n при n -> 00, то ряды a_n и b_n сходятся или расходятся одновременно.
В данном случае
arctg 1/n^3 -> 0 (n -> 00)
1/n^3 -> 0 (n -> 00)
arctg 1/n^3/(1/n^3) -> 1 (n -> 00)
Следовательно, arctg 1/n^3 ~ 1/n^3, поэтому можно сделать такой переход - от исходного ряда к ряду с заменой на 1/n^3.