Лучше немного по другому записать и рассмотреть случаи:
1) х = 0 => тогда все ясно
2) x > 0 =>
a^2 + b^2 >= 2ab, где ab > 0
Тогда 1/(a^2 + b^2) <= 1/(2ab)
Получаем, что
arctg 2x/(x^2 + n^3) <= arctg 2x/(2x * n^(3/2)) = arctg 1/n^(3/2)
А этот ряд сходится.
3) x < 0 =>
a^2 + b^2 >= -2ab, где ab < 0
Тогда
1/(a^2 + b^2) <= 1/(-2ab)
Получаем, что
arctg 2x/(x^2 + n^3) <= arctg 2x/(-2x * n^(3/2)) = -arctg 1/n^(3/2)
Ряд сходится.