Надо провести через точку М общую касательную к этим окружностям.
MA1A2 - это вписанный угол для маленькой окружности. Он будет равен половине дуги MA2. Но половина дуги равна углу между касательной и хордой, отсекающей эту дугу. Значит MA1A2 равен углу между касательной и хордой MA2. Но в свою очередь угол между касательной и хордой MA2 для маленькой окружности будет углом между касательной и хордой MB2 для большой окружности. Этот угол в большой окружности будет равен половине дуги MB2. половина дуги MB2 будет как раз равна вписанному в большую окружность углу MB1B2. Получаем, что MB1B2 = MA1A2. Два соответственных угла равны, значит прямые A1A2 и B1B2 параллельны, что и требовалось доказать.