Что-то я от системы на пару дней отвлекся... Сейчас вот вернулся, но что-то всё равно непонятно... Тут так говорить не принято, но мне действительно практически ничего не понятно...
Условие: Найти общее решение и фундаментальную систему решений в следующей ЛОСУ (3 уравнения):
(3p + q)x1 + (p + 2r)x2 + (2p + q)x3 + (p + q)x4 + (p + r)x5 = 0,

(p + q)x1 + (2p + r)x2 + (5p + q)x3 + (p + r)x4 + (p + 2r)x5 = 0,

(p + 2q)x1 + (p + r)x2 + (p + q)x3 + (p + 2r)x4 + (p + 5r)x5 =0
...
Отличччно. И что теперь? Насколько я помню, после всех махинаций с матрицами и минорами получится общее решение... А выбрав в нем соответсвующим образом константы, можно будет получить ФСР... Кажется, так.
Хорошо, если не знаешь, что делать - надо матрицу составить: уж она-то обязательно пригодится. Составляю... Получил

(3p + q) (p + 2r) (2p + q) (p + q) (p + r)
(p + q) (2p + r) (5p + q) (p + r) (p + 2r)
(p + 2q) (p + r) (p + q) (p + 2r) (p + 5r)

Ну хорошо... Сложим первую строку со второй, запишем на место второй; третью строку домножить на три. Получается...

(3p + q) (p + 2r) (2p + q) (p + q) (p + r)
(4p + 2q) (3p + 3r) (7p + 2q) (2p + q + r) (2p + 3r)
(3p + 6q) (3p + 3r) (3p + 3q) (3p + 6r) (3p + 15r)

Теперь вычесть из второй строки последнюю... Записать на место второй... О, чудо - нолик появился!

(3p + q) (p + 2r) (2p + q) (p + q) (p + r)
(p - 4q) нолик!!! (4p - q) (-p + q - 5r) (-p - 12r)
(3p + 6q) (3p + 3r) (3p + 3q) (3p + 6r) (3p + 15r)

Нолик - это очень даже замечательно. Я обрадовался и решил, что сейчас всё очень быстро домножу - прибавлю - запишу, сведу к диагональному виду, а там посмотрим...
Не тут-то было. Навскидку я тут никаких комбинаций не увидел, а искать цепочки длиной в четыре - пять элементарных действий... Чушь какая. Должно быть легче.
Мой одногруппник - умнейший человек! - со мной в корне не согласился и сказал, что всё нормально сводится, просто домножать придется не на 2 или -5, а на что-нибудь вроде (p + 2q)/(p + q)...
Я прикинул, какие "хорошие" выражения там получатся и, каюсь, не стал даже начинать... Такое чувство, что я вообще не то, не так и не с тем делаю...
...
А теперь - самое интересное. Даже если предположить, что это всё к диагональному виду сводится... Как же там определять, равен ли минор нулю или нет?! Лично я подумал, что вряд ли смогу определить, является ли выражение (p + 2q)(5 - 3q + r) нулем или же нет... Черт его знает.
...
Вот, собственно, и всё, до чего я тут добрался... Дальше практически тупик: можно, конечно, попробовать домножать на сложные коэффициенты - но в итоге придем к минорам, которые, может быть, нулевые, а может, и не совсем... А решать... Хм. Да даже 3 уравнения с тремя неизвестными p, q, r, да рассматривать то ли 3, то ли 2^3, то ли 3! комбинаций их, так что ранг системы получается то ли 0, то ли 1, то ли 2, то ли 3... Ужжжас.
...
Такое чувство, что что-то я серьезное упустил... Или же вообще не по тому пути иду. А может, дело и в лыжах, конечно... Но вряд ли.